Materi 4 TIK - Barisan dan Deret

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan U_n. Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, U_n = f(n)
Misalkan U_n = (2n + 1), maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah U₄ = (2(4) + 1) = 9.

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut DERET. Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dalam bentuk sigma. Barisan dari suku U₁, U₂, U₃, …, U_n yang dinyatakan dalam fungsi f(n) = U_n f(n) = U_n memiliki deret sebagai:

Baris Aritmatika
Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

U_n - U_{{(n - 1)}} = b

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:
b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2
Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

U_n = U_k + (n - k)b

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama U_k = a dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai U_n adalah:

U_n = a + (n - 1)b

Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_{(n-1)}

atau sebagai:

S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

S_n = n/2(a + U_n)

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... +U_(n-1)

S_(n-1) = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_(n-1)

S_n - S_(n-1) = U_n

Sehingga diperoleh U_n = S_n - S_(n-1)

Barisan Geometri
Baris Geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandingan atau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16 merupakan baris geometri dengan nilai :

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r).
Rumusannya berikut ini:

U_n = U_k . r^(n-k)

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama U_k = a dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai U_n adalah:

U_n = a . r^(n-1)

Deret Geometri
Deret Geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ...+ U_(n-1) + U_n

atau dapat dinyatakan sebagai :

S_n = a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^(n-2) + ar^(n-1)

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah :

dengan syarat 0 < r < 1 , atau :

dengan syarat r > 1.
Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

U_n = S_n - S_(n-1)

Contoh Soal Baris dan Deret Aritmatika

1. Diketahui suatu barisan aritmatika : 2, 5, 8, 11, 14, .........Un.
   Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut
2. Diketahui U₂ + U₄ = 12 dan U₃ + U₅ = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah .....
3. Dalam sebuah barisan aritmatika diketahui suku kedua adalah 5 dan suku kelima adalah 14. Berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut ?
4. Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, carilah nilai dari suku pertamanya.
5. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58. Tentukan :
   1. Suku pertama (a)
   2. beda (b)
   3. Besarnya suku ke-10